Elementy_analizy_tensorowej_e_0j4v.pdf

(191 KB) Pobierz

Przedmowa

Podręcznik ten jest znacznym rozwinięciem wykładów, jakie w Uniwersyte-

cie Jagiellońskim prowadziłem przez wiele lat dla studentów astronomii i przez

kilka lat dla studentów ﬁzyki. Wielka kariera rachunku tensorowego zaczęła się

z powstaniem teorii względności. Obecnie stał się on niemal uniwersalnym apa-

ratem matematycznym ﬁzyki i wykroczył poza jej właściwy obszar, znajdując

zastosowania w najszerzej pojętej mechanice ośrodków ciągłych. Z tego powo-

du adresuję podręcznik do szerokiego kręgu odbiorców: ﬁzyków, astronomów,

geoﬁzyków oraz studiujących hydrodynamikę i teorię sprężystości (i nie wyróż-

niam teorii względności). Ze względu na to, że adresuję go do czytelników sto-

sujących rachunek tensorowy w rozmaitych działach nauk ścisłych, nie podaję

żadnych zastosowań, każdy bowiem wybór byłby arbitralny i sugerowałby, że

ten obszar zastosowań jest najistotniejszy. Czytelnik sam zorientuje się, gdzie

analizę tensorową należy stosować, np. rozpozna, że gdy równania Newtona

wyrażające drugą zasadę dynamiki zapisze się we współrzędnych krzywolinio-

wych, takich jak sferyczne, to pochodną zwyczajną względem czasu trzeba

zastąpić pochodną absolutną.

Książka ta ma spełniać dwa cele. Po pierwsze, jest podręcznikiem, co uza-

sadnia jej dużą objętość: daję studentowi sporo objaśnień i komentarzy, przez

co treść nie jest zbyt skondensowana. Po drugie, mając podręcznikowy, czy-

telny charakter, jest monograﬁą dla bardziej zaawansowanych użytkowników,

bowiem znaczna część materiału, zwłaszcza w rozdziałach 4, 5 i 6 oraz więk-

szość rozdziału 7, jest tym użytkownikom potrzebna, a zarazem dostępna tylko

w wysoce specjalistycznej literaturze i po polsku ukazuje się po raz pierwszy.

Znaczenie rachunku tensorowego kontrastuje z luką na polskim rynku wy-

dawniczym. Ostatnie książki na ten temat ukazały się ponad czterdzieści lat

temu i są trudno dostępne. Po nich wydano kilka podręczników teorii względ-

ności zaczynających się od zwięzłego wykładu analizy tensorowej ukierunko-

wanego na teorię Einsteina, zwykle niekompletnego — korzystają więc z niego

tylko ﬁzycy relatywiści. Co więcej, klasyczne podręczniki rachunku tensorowe-

go są przestarzałe w sformułowaniu jego podstaw i nie pasują do kursu analizy

matematycznej na politechnikach i uniwersytetach (nauki ﬁzyczne), a tym bar-

Przedmowa

dziej odstają od wykładów dla studentów matematyki. To jest główny powód

napisania tego podręcznika.

Rachunek tensorowy jest metodą analityczną geometrii różniczkowej, jest

zatem kwestią konwencji, a przede wszystkim gustu autora, ile w książce bę-

dzie geometrii, a ile samych tensorów. Aby uniknąć nieporozumień, podkre-

ślam, że jest to podręcznik analizy tensorowej, a nie zastosowań geometrii

w naukach ﬁzycznych. O geometrii mówię więc tyle, ile potrzeba, by pokazać

moc i użyteczność tej analizy. Jeśli chodzi o poziom abstrakcji i nowoczesności,

to przyjąłem tutaj etap pośredni między nowoczesną geometrią formułowaną

bez użycia współrzędnych a klasycznym podejściem do tensorów, w którym

wszystko wyraża się za pomocą składowych. Ujęcie klasyczne okazało się, po

niemal stu latach używania tensorów, bardziej praktyczne, lecz trudno w nim

wyrazić, czym właściwie jest tensor i w jakich przestrzeniach istnieje. Tego

dostarcza ujęcie nowoczesne.

Tradycyjnie mówi się, że tensor działa w

n–wymiarowej

przestrzeni Rie-

manna lub przestrzeni niemetrycznej. Chcę pokazać ogromne bogactwo tych

przestrzeni i dlatego przeznaczyłem cały obszerny rozdział na zdeﬁniowanie

i przedstawienie rozmaitości różniczkowych. Wektor deﬁniuję jako operator

różniczkowy działający w przestrzeni funkcji gładkich na rozmaitości, bo to

pozwala zrozumieć wiele rzeczy i jest naturalne nie tylko dla ﬁzyków zaznajo-

mionych z mechaniką kwantową. Z doświadczenia wiem, że przejście od czy-

sto algebraicznego pojęcia wektora do obiektu geometrycznego w przestrzeni

stycznej sprawia wielu uczącym się trudności i omawiam tę kwestię bardzo

szczegółowo.

Deﬁnicje i podstawowe twierdzenia podaję w języku geometrii, natomiast

większość rachunków najprościej jest prowadzić dla składowych tensorów. Cały

wykład algebry i analizy tensorowej prowadzę od podstaw, bez zakładania

jakiejś znajomości przedmiotu u czytelnika.

Styl tej książki różni się od rozpowszechnionego i przez wiele lat modne-

go, suchego i skrajnie lakonicznego stylu prezentacji matematyki nowoczesnej;

w niektórych miejscach tekst może się wydać przegadany. Nie przestrzegałem

również zasady, by jakąś informację podawać tylko raz, jest tu szereg powtó-

rzeń, co z pewnego punktu widzenia jest mniej eleganckie, za to ułatwia lekturę

czytelnikowi. Ponadto niektóre zagadnienia omawiam z paru różnych punktów

widzenia, np. przestrzeń izotropową deﬁniuję i opisuję na trzy różne sposoby,

a potem jej własności wyrażam jeszcze za pomocą wektorów Killinga.

Wielkim nieobecnym są tu formy różniczkowe. Wywodzą się z rachunku

tensorowego, a obecnie są niezależnym i rozbudowanym aparatem geometrii

różniczkowej, mającym szerokie zastosowania w całej matematyce i ﬁzyce.

Umieszczanie ich w książce o analizie tensorowej byłoby więc niewłaściwe,

nie mówiąc o tym, że ogromnie powiększyłoby jej objętość. Formy różniczko-

we w

są obecnie przedstawione w standardowych podręcznikach z analizy

matematycznej, a dla form na rozmaitościach istnieje znakomita książka Flan-

Kup książkę

Przedmowa

dersa, która zupełnie się nie zestarzała, mimo że została napisana w 1963 r.

(polskie wydanie ukazało się w 1969 r.). W konsekwencji zrezygnowałem z po-

dawania twierdzeń całkowych, które obecnie formułuje się za pomocą form róż-

niczkowych. Zrezygnowałem również z języka wiązek, gdyż poza samą geome-

trią ich praktyczne zastosowania są niewielkie. Sporo miejsca za to poświęcam

pochodnej Liego ze względu na jej związek z wielkościami zachowywanymi.

Dla profesjonalnego matematyka przedstawiony tu wykład jest momentami

zbyt drobiazgowy, ogólnie za mało zalgebraizowany i za mało ścisły. Ze ścisło-

ści zrezygnowałem świadomie tam, gdzie przysłania jasność wywodu i gdzie

fachowiec jest w stanie bez trudu ją przywrócić. Przyjmuję też za intuicyjnie

oczywiste istnienie pewnych obiektów i ich własności tam, gdzie matematyk

niebanalnym rozumowaniem tego istnienia dowodzi. Starałem się natomiast,

w miarę możności, przestrzegać ścisłości w kwestiach, gdzie intuicja zawodzi:

w konstruowaniu rozmaitości różniczkowych, deﬁniowaniu wektorów, odwzoro-

wań stycznych i pochodnej Liego oraz paru innych miejscach. Chcę dać czytelni-

kowi rozumienie, a nie tylko technikę rachunkową. Być może i dla matematyka

interesujące będzie zobaczyć, jak wiele można zasadnie osiągnąć za pomocą

niewielkiej tylko części potężnego aparatu abstrakcyjnej geometrii różniczkowej.

Zakładam, że czytelnik zna analizę matematyczną w przestrzeni euklide-

sowej na poziomie standardowego wykładu na politechnice lub uniwersytecie

na kierunkach ścisłych (lecz nie na matematyce); przede wszystkim znajomość

rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych i podawanych w ramach ta-

kiego wykładu najbardziej elementarnych pojęć topologii. Zakładam, że ma

standardową wiedzę z algebry liniowej: macierze, wyznaczniki, układy równań

liniowych, przestrzenie liniowe i ich odwzorowania. Zadań jest niewiele, poda-

ję natomiast sporo szczegółowo przeliczonych przykładów i czytelnik może je

traktować jak zadania rozwiązane.

Pragnę podziękować przede wszystkim dr Wojciechowi Jurczakowi, Mar-

cinowi Sobocińskiemu i Dorocie Krochmalczyk, lekarzom z Kliniki Hematolo-

gii Uniwersytetu Jagiellońskiego. Bez ich aktywnego działania ta książka na

pewno nie powstałaby. Miłym obowiązkiem jest wyrażenie wdzięczności za

wyjaśnienia i wskazówki matematykom z Uniwersytetu Jagiellońskiego, Zoﬁi

Denkowskiej i Adamowi Janikowi oraz Zdzisławowi Pogodzie, który objaśniał

mi zawiłości klasyﬁkacji rozmaitości i podawał materiały o historii geometrii.

Andrzejowi Derdzińskiemu z Ohio State University zawdzięczam informacje

o przestrzeniach, do których stosuje się twierdzenie Bochnera. Wyrazy podzię-

kowania kieruję do obu recenzentów, których uwagi umożliwiły mi usunięcie

szeregu niedostatków tekstu. Na koniec pragnę docenić starania żony, która

wielokrotnie wymuszała poprawienie stylu i jasności wykładu.

Uniwersytet Jagielloński

i Centrum Kopernika

Badań Interdyscyplinarnych,

Kraków, styczeń 2010 r.

Kup książkę

1. Preliminaria

1.1. Przestrze´ i czasoprzestrze´ w matematyce

Najważniejszą przestrzenią, z jaką wszyscy mamy do czynienia, jest czaso-

przestrzeń. Najbardziej elementarnym i niezbędnym składnikiem opisu dowol-

nego zjawiska ﬁzycznego jest podanie, gdzie i kiedy zaszło. Zbiór wszystkich

miejsc i momentów zdarzeń, które traktujemy jako punktowe, czyli nie przy-

pisujemy im rozciągłości przestrzennej ani czasowej, tworzy

czasoprzestrzeń.

Intuicja psychologiczna i tradycja kulturowa odróżniają czas od przestrzeni.

Czas to następstwo zdarzeń, natomiast przestrzeń jest zbiorem równoczesnych

położeń wszelkich ciał materialnych, przy czym istotne są tylko wzajemne re-

lacje tych położeń, niezależne od ﬁzycznych własności ciał. Dopiero nowożytna

ﬁzyka wykazała istnienie głębszego, a nie tylko powierzchownego związku czasu

i przestrzeni i pomimo intuicyjnej odrębności złączyła je w jeden obiekt ﬁzycz-

ny. Według teorii względności czas i przestrzeń są jedynie pewnymi aspektami

tego obiektu, który matematycznie modelowany jest za pomocą czasoprze-

strzeni, a ta jest pewnego rodzaju przestrzenią matematyczną. W tej książce

będziemy stosować jednolite podejście do wszystkich przestrzeni i tylko tam,

gdzie jest to konieczne, będziemy wskazywać odmienność czasoprzestrzeni od

pozostałych przestrzeni używanych w matematyce i innych naukach ścisłych.

Fizyczna przestrzeń, którą postrzegamy zmysłami, stała się prototypem

bardzo ogólnego i fundamentalnego dla całej matematyki pojęcia przestrze-

ni abstrakcyjnej. Najbliższa intuicji jest

przestrzeń euklidesowa

, o której

przez długi czas sądzono, że jest jedyną możliwą przestrzenią w geometrii,

a w przypadku trzech wymiarów przedstawia przestrzeń ﬁzyczną. Dopiero

w XIX wieku pojawiły się przestrzenie nieeuklidesowe. Z algebry znane jest

pojęcie przestrzeni liniowej, czyli wektorowej. Jej elementami nie są punkty

pojmowane geometrycznie, lecz wektory określone jedynie własnościami al-

gebraicznymi — mogą to zatem być bardzo odmienne obiekty matematycz-

ne. Ten fundamentalny fakt, że z punktu widzenia algebry wektor nie musi

być strzałką łączącą dwa punkty w

, sprawił, że w analizie matematycznej

wprowadzono bardzo ważne pojęcie

przestrzeni funkcyjnej

, której elementa-

Kup książkę

1. Preliminaria

mi (wektorami) są funkcje o określonych własnościach, np.

(a,

jest prze-

strzenią liniową funkcji rzeczywistych całkowalnych z kwadratem na odcinku

[a,

osi liczbowej. W ten sposób powstała analiza funkcjonalna, w której bada

się abstrakcyjne przestrzenie wektorowe mające nieskończenie wiele wymiarów

i niedające się przedstawić graﬁcznie.

Uogólnienie pojęcia przestrzeni poszło nie tylko w kierunku wektorowych

przestrzeni funkcyjnych. Drugi kierunek, który nas tu bardziej interesuje, wy-

chodzi ze spostrzeżenia, iż przestrzeń euklidesowa jest przestrzenią liniową,

a powierzchnie w

— takie jak sfera, torus, elipsoida, hiperboloida itp. —

przestrzeniami wektorowymi już nie są. (Suma dwóch wektorów na płaszczyź-

nie jest wektorem leżącym na niej, natomiast nie jest wcale oczywiste, jak

zdeﬁniować wektory leżące na sferze. Gdyby sferę zdeﬁniować w

jako zbiór

wektorów jednakowej długości zaczepionych w jej środku, to suma dwu takich

wektorów wyjdzie poza nią). Tradycyjnie do czasów Riemanna powierzchnie

i hiperpowierzchnie (czyli powierzchnie o wymiarze wyższym niż 2) pojmowa-

no jako podzbiory przestrzeni euklidesowej

. Takie ujęcie zwykle nie jest

najwygodniejsze w konkretnych rozważaniach, a nawet okazało się utrudnie-

niem w badaniach pewnych przestrzeni. Mocnym argumentem przeciwko te-

mu ujęciu jest einsteinowska ogólna teoria względności: według niej ﬁzyczna

czasoprzestrzeń może być modelowana jako 4–wymiarowa hiperpowierzchnia

w pewnej 10–wymiarowej przestrzeni wektorowej (przestrzeni Minkowskiego),

lecz ta zanurzająca ją przestrzeń ﬁzycznie nie istnieje. Czasoprzestrzeń istnie-

je ﬁzycznie sama w sobie, jako samodzielna przestrzeń geometryczna, nie zaś

jako hiperpowierzchnia w przestrzeni o większej liczbie wymiarów. Na potrze-

by zarówno ﬁzyki, jak i samej geometrii podano ogólną deﬁnicję przestrzeni

geometrycznej, która nie jest liniowa i która traktuje wszystkie możliwe (zna-

ne i nieznane) hiperpowierzchnie w

jako samodzielne przestrzenie, i ściśle

ujmuje to, co intuicyjnie nazywamy powierzchnią zakrzywioną.

Najogólniejszego, dającego fundament dla niemal całej matematyki poję-

cia przestrzeni dostarcza topologia. Wprowadza ona

przestrzeń topologiczną,

będącą rodziną (zbiorem) zbiorów otwartych. Wszystkie przestrzenie liniowe

w algebrze, funkcyjne w analizie i „geometryczne” w geometrii są przestrze-

niami topologicznymi. Ponieważ wybór zbiorów otwartych w danym zbiorze

punktów jest w dużej mierze arbitralny, różnice między odmiennymi prze-

strzeniami topologicznymi mogą być ogromne. Spośród nich wybieramy klasę,

dość wąską z punktu widzenia topologii, tych przestrzeni, które lokalnie są

homeomorﬁczne

z kawałkami przestrzeni

; z punktu widzenia zastosowań

w samej matematyce i naukach przyrodniczych klasa ta jest bardzo szeroka.

Są to

rozmaitości różniczkowe

(różniczkowalne). One właśnie są „przestrze-

niami”, w których będziemy uprawiać analizę tensorową. Jeden z głównych

programów badawczych ﬁzyki dotyczy sformułowania fundamentalnych teorii

ﬁzycznych na odpowiednich rozmaitościach różniczkowych. Rozmaitościami są

Homeomorﬁzm

deﬁniujemy w podrozdz. 1.5.

Kup książkę

Plik z chomika:

Faficzek-10

Inne pliki z tego folderu:

Analytic_and_Algebraic_Geometry_e_0e3o.pdf (6994 KB)
Continuity_Eleven_sketches_from_the_past_of_Mathematics_e_09f3.pdf (6887 KB)
Head_First_Algebra_Edycja_polska_hfalge.pdf (5070 KB)
Analiza_matematyczna_dla_ekonomicznych_kierunkow_studiow_e_0e41.pdf (1214 KB)
Annales_Mathematicae_Silesianae_T_22_2008_e_1p01.pdf (870 KB)

Elementy_analizy_tensorowej_e_0j4v.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: