Modele ADL autoregresyjne DL.pdf

(124 KB) Pobierz
Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja
Szereg czasowy, to ciąg realizacji zmiennej losowej, powiedzmy
y
, w kolejnych okresach czasu:
{
y
t
}
T
=
1
, co równowa nie mo emy zapisać:
y
=
{
y
1
,
y
2
,...,
y
T
} .
t
Najogólniej rzecz biorąc, modele dla szeregów czasowych, to modele, w których zmienną objaśnianą (oraz
ewentualne zmienne objaśniające) obserwujemy w ustalonych odstępach czasu, w ustalonym przedziale
czasowym. Jeśli obserwacje wartości zmiennych zbierane są co roku, to powiemy, e pracujemy na danych
rocznych, jeśli zbierane są co pół roku, to są to dane półroczne, gdy zbierane są co kwartał – dane kwartalne, co
miesiąc – dane miesięczne, i tak dalej a dochodzimy w tej klasyfikacji do danych bardzo wysokiej
częstotliwości, charakterystycznych dla rynków finansowych, gdzie potrafią one być zbierane w bardzo
niewielkich odstępach czasowych.
Najprostszy model szeregu czasowego mo emy zapisać jako:
y
t
=
α
+
β
x
t
+
ε
t
gdzie na zmienną
y
wpływa stała (
α
) oraz zmienna objaśniająca
x
. Proszę zwrócić uwagę, e dane są
indeksowane czasem – ka da zmienna ma subskrypt
t
, który oznacza numer okresu, z którego pochodzi
obserwacja. W przypadku naszego przykładu, reakcja zmiennej
y
na zmiany zmiennej
x
są natychmiastowe,
gdy jednostkowy wzrost zmiennej
x
w okresie
t
powoduje zmianę zmiennej
y
o wielkość
β
w tym samym
okresie.
Przykładowo mamy dane kwartalne dotyczące poda y pieniądza dla Kanady za okres 1979-1988:
Prosty model, jaki mo emy na tych danych zbudować, to model wyjaśniający realną poda pieniądza w okresie
t
za pomocą stopy procentowej, PKB oraz inflacji z tym samym okresie. Wyglądałby on w następujący
sposób:
m
t
=
α
+
β
pkb
t
+
γ
R
t
+
γ
inf
t
+
ε
t
A oto jego oszacowania:
Jednak zakładamy w tym modelu, e badane wielkości makroekonomiczne reagują na zmianę innych wielkości
makroekonomicznych w sposób natychmiastowy (tzn. w tym samym okresie), zaś zmiany w poprzednich
okresach nie mają w tym przypadku wpływu (proces „bez pamięci”). Z drugiej strony wiemy, e nie zawsze
1
jest to prawda, a nawet bardzo często nie jest. W procesach makroekonomicznych potrzebny jest okres
dostosowań do zmian, więc to w szczególności zmiany wielkości makroekonomicznych z poprzednich okresów
będą kształtowały zjawiska w okresach przyszłych.
Modele DL (o rozło onych opóźnieniach - Distributed Lags models)
Modele DL zakładają, e na zmienną objaśnianą mają wpływ nie tylko obecne wartości zmiennej/zmiennych
objaśniających, ale równie ich wartości przeszłe. Dla przypadku jednej zmiennej objaśniającej, model DL
mo na zapisać jako:
y
t
=
α
+
β
0
x
t
+
β
1
x
t
−
1
+
β
2
x
t
−
2
+
...
+
β
p
x
t
−
p
+
ε
t
, przy czy przy takiej postaci modelu zakładamy, e na zmienną
objaśnianą
y
t
będzie wpływała zmienna objaśniająca
x
t
oraz jej
p
opóźnień (najczęściej zakłada się, e
p
p
jest skończone). Mo emy ten model przepisać równoznacznie jako:
y
t
=
α
+
∑
β
i
x
t
−
i
+
ε
t
.
i
=
0
Najwa niejsze powody wprowadzania opóźnień zmiennych do modeli to:
•
Reakcja zmiennych makroekonomicznych (np. PKB, poziom bezrobocia) na decyzje polityczne zawsze
cechuje się pewnym opóźnieniem w czasie. Często przedmiotem analiz ekonomicznych jest długość
opóźnienia pomiędzy wprowadzeniem zmian w polityce monetarnej a ich wpływem na takie zmienne
jak wielkość produkcji czy poziom inwestycji.
•
Obecne decyzje ekonomiczne opierają się w du ej mierze na tych podjętych w przeszłości. Na przykład,
obecna sytuacja na rynku motoryzacyjnym w du ej mierze jest zdeterminowana przez poziom cen
benzyny i samochodów z poprzednich okresów.
•
Oczekiwania odnośnie wielkości ekonomicznych najczęściej powstają w wyniku agregacji nowych
informacji oraz doświadczeń z przeszłości.
Forma zapisu modeli DL pozwala na zało enie, e zmienna
y
nie reaguje na zmiany zmiennej
x
jedynie z
tego samego okresu (a więc w sposób natychmiastowy), ale e oprócz tego typu zmian, na jej wielkość mają
równie zmiany
x
sprzed jednego, dwóch, a do
p
okresów. W tym sensie mo emy stwierdzić, e tak
zbudowany model „ma pamięć”, co jest zało eniem du o bli szym realiom makroekonomicznym.
Dzięki modelom DL mo emy odseparować kilka ró nych form wpływu zmiennej objaśniającej na zmienną
objaśnianą. Jeśli interesuje nas natychmiastowa reakcja
y
na zmianę
x
, to powinniśmy wyznaczyć tzw.
mno nik bezpośredni (
impact multiplier
). Natychmiastowy wpływ zmiennej
x
na zmienną
y
jest, oczywiście
równy parametrowi stojącemu przy zmiennej
x
z okresu tego samego, co
y
, a więc przy
x
t
.
Mno nik
bezpośredni
jest więc równy oszacowaniu parametru
β
0
.
Mno nik skumulowany (średniookresowy),
mówi nam o reakcji zmiennej objaśnianej
y
na trwałą zmianę
zmiennej objaśniającej
x
w
τ
kolejnych okresach. Mno nik ten przyjmuje postać:
β
τ
=
∑
β
i
, gdzie
τ
≤
p
.
i
=
0
τ
Rozwa any jest równie
mno nik długookresowy
(
long-run multiplier
), który wychwytuje wpływ trwałych
zmian wszystkich przeszłych wartości
x
, łącznie z wartością obecną. Aby wyznaczyć ten mno nik, korzystamy
∞
ze wzoru:
β
=
∑
β
i
.
i
=
0
Wyznaczyć mo emy równie
średnie
opóźnienie reakcji
y
t
na zmiany
x
t
. Wyznaczane jest one ze wzoru:
∞
w
=
∑
i
i
=
0
β
i
β
Jeśli w modelu jest więcej ni jedna zmienna objaśniająca, mno niki liczone są analogicznie, osobno dla ka dej
zmiennej.
Szukanie optymalnej wartości p
W modelach DL zakłada się dla ogólnego przypadku, e na zmienną objaśnianą
y
wpływa zmienna
objaśniająca
x
(lub zmienne objaśniające) z tego samego oraz jej
p
opóźnień (lub ich
p
opóźnień).
2
Prawidłowa wartość
p
determinuje ilość zmiennych umieszczonych w modelu. Jednak jak mo emy się
dowiedzieć jaka jest owa ‘prawidłowa’ wartość
p
?
Na pewno nie powinniśmy zaczynać od modelu statycznego, czyli zakładającego, e na
y
t
wpływają jedynie
wartości zmiennych objaśniających z tego samego okresu (natychmiastowe dostosowania), a potem dodawać
kolejne opóźnienia zmiennych objaśniających, testując ich istotność. Zdarzyć się bowiem mo e, e procedurę
przerwiemy nie znajdując prawdziwej wielkości
p
– nasze
p
'
<
p
, co spowoduje, e w modelu będzie mniej
zmiennych, ni w nim być powinno. Jest to znany ju problem zmiennych pominiętych, którego konsekwencją
są obcią one estymatory.
Stosuje się więc podejście zaczynające analizę problemu od drugiej strony. Zakładamy ‘odpowiednio’ du
ą
wartość
p
(wtedy w modelu jest odpowiednio du o zmiennych objaśniających) i szacując model, testujemy
(testem na łączną istotność podzbioru regresorów), czy parametry stojące przy zmiennych reprezentujących
najwy sze opóźnienia są łącznie równe zero (zmienne te są wtedy łącznie nieistotne), czy są łącznie od zera
ró ne (zmienne łącznie istotne). Je eli zmienne są łącznie nieistotne, to mo emy usunąć je z modelu i
oszacować model be nich, testując z kolei w nim łączną istotność najbardziej opóźnionych zmiennych
objaśniających. Procedurę tę kontynuujemy, a do stwierdzenia, e test nie pozwala na wykluczenie któregoś z
opóźnień zmiennych objaśniających, co określa nam wielkość
p
.
Początkowe wybranie ‘odpowiednio’ du ej wielkości
p
zale ne jest od charakteru danych (np. jeśli są to dane
kwartalne, to dobrze by było zacząć od co najmniej czwartych opóźnień) oraz od potrzeby zachowania jak
największej ilości stopni swobody.
Poniewa w tym sposobie postępowania zaczynamy od mo liwie najbardziej rozbudowanego modelu – od
modelu ogólnego, a kończymy na jego przypadku szczególnym, modelowanie takie nazwiemy
od ogólnego do
szczególnego (general to specific).
Innymi sposobami wybrania wielkości
p
(ni test na łączną istotność najwy szych opóźnień) jest
porównywanie konkurujących ze sobą modeli za pomocą skorygowanego współczynnika determinacji
′
n
−
(
R
2
=
1
−
n
−
1
(1
−
R
2
)
) oraz kryteriów informacyjnych Akaike (
AIC
=
ln(
ene
)
+
2
nk
) lub Schwartza
k
(
BIC
=
ln(
en
′
e
)
+
k
ln(
n
)
) . Rzecz jasna, preferowany model będzie miał wy szy skorygowany współczynnik
n
determinacji oraz jak najni sze wartości kryteriów informacyjnych.
Wróćmy do naszego przykładu modelu poda y pieniądza. Oszacowaliśmy ju jego statyczną postać, jednak
wnioski z naszych dotychczasowych rozwa ań nie pozwalają zbyt optymistycznie podchodzić do statycznych
modeli makroekonomicznych. Prawie na pewno powinniśmy do modelu dodać opóźnienia zmiennych
objaśniających, więc prawie na pewno statycznej postaci modelu występuje problem zmiennych pominiętych.
Model ten szacowany jest na danych kwartalnych, zasadne wydaje się więc wprowadzenie do modelu 4-tych
opóźnień zmiennych objaśniających w przypadku stopy procentowej i PKB. Nie wprowadzimy opóźnionej
inflacji, z uwagi na naturę tej zmiennej, jak i na to, e tracilibyśmy dodatkowe stopnie swobody.
Po aplikacji metodologii ‘od ogólnego do szczegółowego’, w celu znalezienia optymalnej wielkości
p
,
otrzymujemy model:
m
t
=
α
+
β
0
pkb
t
+
β
1
pkb
t
−
1
+
δ
0
R
t
+
δ
1
R
t
−
1
+
γ
inf
t
+
ε
t
Oszacowanie tego modelu są następujące:
3
Wszystkie zmienne (łącznie ze stałą, ale z wyłączeniem inflacji) są w modelu istotne, zaś współczynnik
determinacji jest bardzo wysoki.
Polecenie:
Oblicz mno niki bezpośrednie, długookresowe oraz
średnie
opóźnienie reakcji poda y pieniądza na
zmiany PKB oraz stopy procentowej. Czy w naszym przypadku jest sens wyznaczać mno niki
średniookresowe?
Odpowiedź uzasadnij.
Gdybyśmy nie patrzyli na pozostałe statystyki, to model wydaje się być przyzwoity. Jednak wartość statystyki
Durbina-Watsona wskazuje na występowanie autokorelacji składnika losowego I rzędu:
Przeprowadzając test Breuscha-Godfreya na autokorelację rzędu 4, gdzie hipotezą zerową jest brak tej
autokorelacji, otrzymujemy:
Wygląda więc na to, e autokorelacja rzędu czwartego równie występuje.
Występowanie autokorelacji w modelach dynamicznych mo na interpretować jako błąd specyfikacji modelu.
Występowanie autokorelacji wskazuje bowiem w tym przypadku na to, e w modelu nie udało się w pełni
opisać dynamicznego charakteru zmiennej zale nej. Problem ten często rozwiązuje się poprzez dodanie do
modelu opóźnione wartości zmiennej zale nej.
Modele ADL ( autoregresyjne modele o rozło onych opóźnieniach - Autoregressive
Distributed Lags models)
Modele ADL oprócz opóźnień zmiennych niezale nych wśród zmiennych objaśniających, mają wśród nich
równie opóźnienia zmiennej objaśnianej. Uzasadnieniem statystycznym wprowadzania do modelu opóźnień
zmiennej objaśnianej wśród zmiennych objaśniających są niewątpliwie lepsze własności statystyczne tego
modelu często przejawiające się w usunięciu z niego autokorelacji, co dzieje się przy stosunkowo niewielkim
koszcie polegającym na potrzebie oszacowania jedynie kilku więcej parametrów. Uzasadnieniem
ekonomicznym jest znaczna inercja zjawisk makroekonomicznych.
Ogólna postać modelu ADL o p-opóźnieniach zmiennej zale nej i r-opóźnieniach zmiennej/zmiennych
objaśniających jest następująca:
p
r
j
=
0
y
t
=
α
+
∑
γ
i
y
t
−
i
+
∑
β
j
x
t
−
j
+
ε
t
i
=
1
Równowaga długookresowa
Jest to sytuacja, kiedy wartość oczekiwana zmiennej objaśnianej nie zmienia się w czasie, jeśli w czasie nie
zmieniają się równie wartości zmiennej objaśnianej (zmiennych objaśniających). Mamy więc:
y
*
=
E
(
y
t
)
=
E
(
y
t
−
1
)
=
...
=
E
(
y
t
−
p
)
x
*
=
x
t
=
x
t
−
1
=
...
x
t
−
s
Dla równowagi długookresowej, model ADL mo na zapisa
ć
jako:
(1
−
γ
1
−
γ
2
−
...
γ
p
)
y
*
=
α
+
x
*
β
0
+
x
*
β
1
+
...
+
x
*
β
s
, albo:
y
*
=
α
*
+
x
*
β
,
gdzie
α
*
=
β
+
β
1
+
...
+
β
s
α
,
β
=
0
1
−
γ
1
−
γ
2
−
...
γ
p
1
−
γ
1
−
γ
2
−
...
γ
p
W przypadku wyst
ę
powania w modelu opó
ź
nie
ń
zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych nie da si
ę
utrzyma
ć
zało enia, e
zmienne obja
ś
niaj
ą
ce s
ą
nielosowe (losowe
y
t
wymusza losowo
ść
jego opó
ź
nie
ń
, a te z kolei s
ą
jednymi z
4
regresorów). W przypadku losowych zmiennych niezale nych dowiedzenie zgodno
ś
ci estymatora uzyskanego
MNK
jest mo liwe tylko wtedy, gdy zmienne niezale ne nie s
ą
skorelowane z zaburzeniem losowym. Warunek
ten b
ę
dzie spełniony je
ś
li w modelu
ADL
nie b
ę
dzie wyst
ę
powała autokorelacja czynnika losowego.
O ile wzór na mno niki bezpo
ś
rednie jest w modelach ADL taki sam, jak w modelach DL, to zmieni si
ę
wzór
p
β
+
β
1
+
...
+
β
p
na mno nik długookresowy. Wzór ten przyjmie posta
ć
:
β
=
0
=
1
−
γ
1
−
γ
2
−
...
−
γ
r
∑
β
i
=
0
r
i
=
1
i
.
1
−
∑
γ
i
Ś
redni czas reakcji zmiennej obja
ś
nianej liczony jest ze wzorów rekurencyjnych, zbyt czasochłonnych by
ś
my
si
ę
nimi zajmowali.
Kolejny przykład, którym si
ę
posłu ymy jest przykładem szeroko znanym i szeroko wykorzystywanym w
prezentacji zastosowa
ń
tak ułomno
ś
ci niektórych podej
ść
modelowych, jak i sposobów radzenia sobie z nimi,
ale dla jest przede wszystkim prezentacj
ą
mo liwo
ś
ci implementacji modeli ADL.
Mamy kwartalne dane dotycz
ą
ce rozporz
ą
dzalnego dochodu mieszka
ń
ców Kanady oraz dane dotycz
ą
ce
wysoko
ś
ci ich konsumpcji:
Chcemy oszacowa
ć
model konsumpcji.
Oto wyj
ś
ciowy model ADL dla naszego przypadku:
konsum
t
=
α
+
γ
1
konsum
t
−
1
+
γ
2
konsum
t
−
2
+
γ
3
konsum
t
−
3
+
γ
4
konsum
t
−
4
+
+
β
0
dochod
t
+
β
1
dochod
t
−
1
+
β
2
dochod
t
−
2
+
β
3
dochod
t
−
3
+
β
4
dochod
t
−
4
+
ε
t
Przeprowadzony w przypadku tego modelu wybór optymalnego opó
ź
nienia (za pomoc
ą
metodologii ‘od
ogólnego do szczegółowego’), sugeruje szacowanie nast
ę
pj
ą
cej postaci modelu:
konsum
t
=
α
+
γ
1
konsum
t
−
1
+
γ
2
konsum
t
−
2
+
β
0
dochod
t
+
β
1
dochod
t
−
1
+
β
2
dochod
t
−
2
+
ε
t
A oto oszacowanie:
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin