WA35_12339_7474_O-Rozwiazywaniu.pdf

(9417 KB) Pobierz
ZA
P O M O C Ą
C A Ł E K
OZNACZONYCH
NAPISAŁ
WŁADYSŁAW KRETKOWSKI,
Inżynier dróg i mostów, były uczeń dyplomowany szkoły dróg i mostów w Paryżu, magister nauk matematycznych
uniwersytetu w Paryżu.
Osobne Odbicie z Pamiętnika Akademii umiejętności
Wydział matematyczno - przyrodniczy, tom VII.
W
W DRUKARNI
K R A K O W I E ,
UNIWERSYTETU
JAGIELLOŃSKIEGO,
pod zarządem Ignacego Stelcla.
1882.
http://rcin.org.pl
O rozwiązywaniu równań algiebrycznych ogólnych
ZA
POMOCĄ
GAŁEK
NAPISAŁ
OZNACZONYCH
WŁADYSŁAW KRETKOWSKI.
Rozwiązywanie równań, jako główny przedmiot algiebry, zajmowało od dawna wielu ma-
tematyków. Wynikiem tych prac jest, że równania liczebne nie przedstawiają już właściwie tru-
dności, chyba tylko długość rachunków, co zresztą zdaje się leżeć już w samej naturze zadania,
umiemy bowiem, dzięki tym pracom, oznaczyć dokładnie liczbę pierwiastków zawartych w danym
zakresie, oraz obliczyć je dokładnie lub z danem przybliżeniem, Równania ogólne przedstawiają
więcej trudności. Po pracach
R U F F I N I E G O , A B E L A , G A L O I S A , W A N T Z E L A , B E T T I E G O , C A M I L L E J O R -
DANA
i innych, wiemy, że rozwiązanie za pomocą pierwiastników jest niemożebnem dla równań
ogólnych stopnia wyższego nad czwarty.
H E R M I T E , B R I O S C H I
i inni rozwiązali równania stopnia
piątego za pomocą funkcyj eliptycznych. Rozwiązania inne, jakie podano, jużto za pomocą
szeregów lub innych wyrażeń nieskończonych, jużto za pomocą całek oznaczonych, są w ogól-
ności mało znane i powiedzmy, że w ogólności przedstawiają wiele niedostatków. I tak prace DE
L A G R A N G E A Z
przeszłego wieku, a mianowicie praca z roku 1770, pod tytułem:
Nouvelle methode
pour resoudre les eąuations litterales par le moyen des series (Lu a TAcademie le 18 janvier et le
5 avril 1770)
ogłoszona w piśmie:
Memoires de VAcademie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, t. 24, 1770,
a którą to pracę, nie posiadając ostatniego pisma, cytuję podług dzieła:
Oeuvres de Lagrange, publiees par le soins de
M . J . A . SERRET,
sous les auspices de Son Excel-
lence le Ministre de VInstruction publiąue. Tome troisieme. Paris, Gauthier- Villars. 1869.
4ka, w któ-
rem znajduje się przedrukowaną na stronicach 5 do 73. Znakomita ta praca na swój czas, nie
uwzględnia zbieżności szeregów, gdyż w ten czas pojęcia o zbieżności i działaniach z szeregami
prawie że nie istniały, a przytem ma pewien charakter szczególności. Coś podobnego możnaby
powiedzieć o pracach innych, jak
D E L A P L A C E A , P A O L I E G O , R U F F I N I E G O
i t. d.
Co do rozwiązywania równań za pomocą całek oznaczonych istnieją prace, ale z żadną
spotkać się nie mogłem. Wspomnę więc tylko o jednej, o której znalazłem wzmiankę w piśmie:
Comptes rendus hebdomadaires des seances de VAcademie des sciences,.... tome 17,.... Paris,
Ba-
chelier,....
1843,
4ka, stronic 4, 1433. Tam na stronicy 938 znajduje się praca pod tytułem:
Bapport sur un Memoire de
M . L A U R E N T . . . .
Comissaires MM.
L I O U Y I L L E , C A U C H Y
rapporteur,
w której
C A U C H Y
przypomina, że przedstawił swoje twierdzenie o rozwijalności funkcyj na sze-
regi postępujące podług potęg całkowitych dodatnich 11 października 1831 roku Akademii w Tu-
t\
http://rcin.org.pl
4
WŁADYSŁAW
KRETKOWSKI.
rynie, a którego twierdzenie
LAURENTA
jest niejako uogólnieniem, i co tu najważniejsze, mówi,
że przedstawił Akademii Nauk w Paryżu 22 listopada 1819 roku pracę o rozwiązywaniu równań za
pomocą całek oznaczonych i że z niej jest umieszczony wyjątek w piśmie:
Analyse des travaux de
TAcademie,
którego jednakże nigdy nie widziałem. Oto raniej więcej co mogę powiedzieć o stanie
kwestyi. Przechodząc do opisania, co udało mi się zrobić dla rozwiązania równań algiebrycznych
za pomocą całek oznaczonych, zastrzegam, że być może, że już zostałem uprzedzony przez innych,
a tylko prace ich nie doszły do mojej wiadomości. Punktem wyjścia była mi wyżej wymieniona
praca D e
LA GRANGEA.
Niech będzie równanie algiebryczne stopnia
m
(1)
w którem
m
zaś oznacza liczbę całkowitą dodatnią,
z
ilość nieznaną, a
m \-i
ilości a
n
;
n
—
O, 1, 2,,..., m,
są współczynnikami stałemi niezależnemi od nieznanej z.
Można przyjąć, że dane równanie nie posiada pierwiastków równych, algiebra bowiem
podaje sposoby na pozbycie się takowych pierwiastków. Przypuścimy także, że pierwiastki da-
nego równania nie posiadają modułów równych. W przeciwnym bowiem razie przez stósowną
przemianę początku współrzędnych, albo inaczej mówiąc, przez dobranie s t o s o w n e j ilości a i
podstawienie
zamienilibyśmy dane równanie na inne
któregoby pierwiastki, uważając
y
za ilość nieznaną, nie miały już modułów równych.
Możemy więc założyć, że równanie (1), w którem uważamy za ilość nieznaną
ma moduły swych
m
pierwiastków
nierówne i że takowe są uporządkowane w szeregu rosnącym
Przyjmiemy przytem jako wiadome z algiebry, że
(2)
oraz że we wzorze
umiemy
sywać.
wyrazić
sv przez współczynniki danego równania,
które zbytecznie
byłoby
tu wypi-
.jj
Jeżeli przez l rozumieć będziemy znak logarytmów naturalnych, to wtedy ponieważ
http://rcin.org.pl
O ROZWIĄZYWANIU RÓWNAŃ ALGIEBRYCZNYCH ZA POMOCĄ CAŁEK OZNACZONYCH.
5
jest
Przypuśćmy teraz, że ilość zmienna
z
zadość czyni podwójnej nierówności
to wtedy moduły ilości
są mniejszemi od jedności. Na mocy
WIĘC
znanego twierdzenia
CAUCHYEGO
funkcyje
można rozwinąć na szeregi zbieżne postępujące podług potęg całkowitych dodatnich drugich wy-
razów dwumianów, będących pod znakiem logarytmu, i co tu najważniejsze, że ich zbieżności,
rozciągające się w różnych zakresach, mają zakres wspólny
Na mocy więc tej uwagi, wnosimy, że szereg
jest zbieżnym w zakresie
Można więc (wnosząc z powyższego wzoru) rozwinąć funkcyję
na szereg postępujący podług potęg całkowitych odjemnych i dodatnych, zbieżny w zakresie
Jeżeli więc rozwinięcie wykonamy za pomocą znanego twierdzenia
się w znany sposób przez całki oznaczone,
je odtąd-j uważać za znane.
a które zbytecznie
'/
LAURENTA,
v
które tenże
przedstawił w roku 1843 Akademii Nauk w Paryżu, to współczynniki A
%
rozwinięcia wyrażą
i
byłoby tu wypisywać i możemy

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin