Matematyczny Everest od podstaw do matury Poziom podstawowy i rozszerzony Wyd III 2021.pdf

(853 KB) Pobierz
201
37. F
UNKCJA KWADRATOWA
Gdy we wzorze funkcji najwyższą potęgą jest
jest to funkcja
kwadratowa. Oprócz mogą być w niej również inne składniki.
Przykłady.
( )
( )
( )
Wzór funkcji kwadratowej ma postać:
( )
lub
Ta postać nazywa się
ogólna.
Wkrótce poznasz jeszcze dwie całkiem inne postacie funkcji kwadra-
towej (kanoniczną i iloczynową)
Funkcja kwadratowa jest w programie I klasy szkoły średniej i poznasz
ją jako następną po funkcji liniowej. Obie są bardzo ważne i w dużej
mierze inne funkcje na nich się opierają. Zadania z zakresu liniowej
i kwadratowej zawsze są na maturze
Współczynniki
to dowolne liczby, ale
, bo tylko wtedy
istnieje . Gdyby było zerem, znika Ci składnik
i masz wzór
funkcji liniowej np.
Zatem współczynniki i mogą być zerami ale współczynnik nigdy.
Współczynnik to liczba stojąca przy
Współczynnik stoi zawsze przy
Współczynnik to wyraz wolny, czyli sama liczba.
Przykłady
Tabela przedstawia wzory funkcji kwadratowych oraz
współczynniki
w tych wzorach. Przeanalizuj je:
Wzór funkcji
2
3
1
1
√
4
6
5
3
0
0
0
0
√
5
Wykresem funkcji kwadratowej jest
parabola
(rys.)
Narysujesz ją gdy wyznaczysz np w tabelce kilka jej
punktów podobnie jak dla wykresu funkcji liniowej
--------------------------------------------------------------------------------------------
202
ELEMENTARNE PARABOLE
1.
Podstawowa parabola ma wzór
Do tabelki podstawiasz za kilka liczb i podnosisz je do kwadratu:
0
0
1
1
1
2
4
y
4
4
3
Parabola
ma ten sam
kształt ale rysuj ją w odbiciu
lustrzanym, symetrycznie do osi
-2
-1
2
1
x
1
2
--------------------------------------------------------------------------------------------
2.
Parabola
Najpierw podnosisz do kwadratu, a potem mno-
żysz otrzymaną liczbę przez 2.
0
0
Parabolę
narysujesz
symetrycznie do osi
-2
-1
1
4
3
2
1
y
x
--------------------------------------------------------------------------------------------
3.
Parabola
Wykres rozszerza się
y
1
2
0
0
1
4
3
2
Wykres
narysujesz
symetrycznie do osi .
-2
-1
1
x
1
2
Zauważ że w parabolach
wierzchołek jest zawsze w środku
(
)
a dwa pozostałe punkty mają współrzędne:
(
)i(
).
Inne wykresy np.
mają tę
samą rozpiętość co powyższe
ale są położo-
ne w innym miejscu na układzie współrzędnych. To położenie zależy od
umiejscowienia wierzchołka paraboli. I o tym napiszę Ci teraz
--------------------------------------------------------------------------------------------
Kup książkę
203
WIERZCHOŁEK PARABOLI
Wierzchołek to najniższy lub najwyższy punkt na paraboli. Jego współ-
rzędne oznaczasz jako
(
)
lub
(
)
Aby obliczyć wierzchołek, należy współczynniki
podstawić do
wzorów:
i
i
Ten mały trójkącik
to grecka litera delta.
, a jej miejsce na układzie wskaże Ci
i
Przykład
Narysujemy parabolę
Ma ona ten sam kształt co
punkt wierzchołka Obliczasz
Wypisujesz współczynniki:
do
(
)
potrzebna jest delta:
(
)
już masz.
od
Punkt wierzchołka paraboli, czyli
Drugi punkt paraboli ustalisz wiedząc że w pierwotnej
)
wierzchołka jest jednostka w prawo i w górę Otrzymasz
(
Trzeci punkt to 1 jednostka w lewo i w górę więc masz
(–
)
y
4
3
2
1
x
-2
-1
1
2
Wzoruj się na kształtach paraboli
,
,
itd.
--------------------------------------------------------------------------------------------
WŁASNOŚCI FUNKCJI KWADRATOWEJ
Wszystkie własności które wytłumaczyłam Ci dla funkcji liniowej, mają
swoje odniesienie również dla funkcji kwadratowej.
1. Dziedzina.
Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczy-
wistych. Bo cokolwiek wstawisz do wzoru funkcji za to zawsze
obliczysz wartość Zatem
2. Zbiór wartości.
odczytujesz z osi czyli od jakiego zaczyna się
wierzchołek paraboli i dokąd zmierzają jej ramiona (do czy do
)
Kup książkę
204
y
3
2
1
x
-2
-1
-1
1
2
y
3
2
1
x
-2
-1
-1
1
2
〈
)
(
〉
3. Miejsca zerowe.
To punkty przecięcia paraboli z osią . Wykres może
mieć dwa punkty na osi jeden punkt lub nie mieć ich wcale.
y
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
-1
-2
1
2
3
4
To od delty zależy ile wykres
ma miejsc zerowych.
O tym napiszę Ci wkrótce
Monotoniczność.
Badasz kiedy funkcja jest rosnąca i malejąca
-3
a) do
od
funkcja maleje
funkcja rośnie
b) do
od
funkcja rośnie
funkcja maleje
y
3
2
1
y
3
2
1
x
-2
-1
-1
1
2
x
-2
-1
-1
1
2
Wartości dodatnie i ujemne.
Dodatnie są nad osią
wartości dodatnie
są nad osią
y
5
4
3
2
1
-2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
a ujemne pod .
wartości dodatnie
są nad osią
x
wartości ujemne
są pod osią
Kup książkę
205
6 Wartość
największa lub najmniejsza.
Decyduje o niej wierzchołek.
minimum
y
3
2
1
x
-2
-1
-1
1
2
maksimum
y
3
2
1
x
-2
-1
-1
1
2
Zauważ że
lub
to liczba
z wierzchołka paraboli
*7. Parzystość
Tylko ta funkcja kwadratowa jest parzysta, gdy wykres
przebiega symetrycznie względem osi ;
a) ta
jest
parzysta
b) ta
nie jest
parzysta
y
y
3
2
1
x
3
2
1
x
-2
-1
-1
1
2
3
-2
-1
-1
1
2
3
*8 Nieparzystość
Funkcja kwadratowa
nie jest
nieparzysta, bo niemo-
żliwe jest aby parabola była symetryczna względem środka (0 0)
*9 Różnowartościowość
Funkcja kwadratowa
nie jest
różnowartościo-
wa Byłaby, gdyby dla różnych
były różne wartości
.
Jednak w każdej funkcji kwadratowej dla różnych są te same
W przypadku poniższej paraboli
zaś
y
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
* 0 Okresowość Nie jest
okresowa. Nie badasz tej własności w funkcji
kwadratowej.
-2
Komentarz.
Wkrótce, na wzorze funkcji, poćwiczymy te własności.
-3
Kup książkę

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin