cwiczenie 11_Metoda energetyczna.pdf

(237 KB) Pobierz
Uwaga: tekst jest wierna¾kopia, z uwzglednieniem
erraty,
stron 68– ze skryptu
¾
¾
80
PK ’
Ustroje powierzchniowe’autorstwa Marii Radwa´
nskiej i Zenona Waszczyszyna
3.10. METODA ENERGETYCZNA (RITZA)
Metoda ta opiera sie na tzw.
zasadzie minimum energii
potencjalnej ustroju, która
¾
mówi: spo´
sród kinematycznie dopuszczalnych pól przemieszcze´ (spe÷ acych
n
niaj ¾
kinematyczne warunki brzegowe) rozwiazaniem spe÷ acym warunki równowagi
¾
niaj ¾
ustroju bedzie pole przemieszcze´ , dla którego energia potencjalna
¾
n
osiaga min-
¾
imum. Warunkiem koniecznym minimum funkcjona÷ energii jest zerowanie sie
u
¾
jego pierwszej wariacji:
= 0:
(3.24)
Wykorzystanie praktyczne zasady minimum energii pokazemy w odniesieniu do
·
zginania p÷ dla których polu przemieszcze´ odpowiada funkcja ugiecia
w(x; y):
yt,
n
¾
Rozwiazania przyblizonego poszukujemy w postaci:
¾
·
N
X
i=1
w(x; y)
=
e
gdzie
w
i
sa wspó÷
¾
czynnikami, a
w
i
i
(x;
y);
(3.25)
i
(x;
y)
znanymi funkcjami, spe÷ acymi kine-
niaj ¾
matyczne warunki brzegowe. W odniesieniu do tych funkcji przyjmujemy ponadto,
ze sa one liniowo niezalezne, a wiec rozwiazaniem (3.24) bedzie liniowa kombinacja
¾
¾
¾
· ¾
·
funkcji
i
.
Warunek (3.24) piszemy w postaci
X
@
=
w
i
= 0;
@w
i
i
gdzie wariacje
w
i
wynikaja z wirtualnego przemieszczenia:
¾
X
i
w
=
e
w
i
1
i
(x;
y):
Warunek
= 0
ma by´ spe÷
c
niony dla dowolnej wariacji
w
i
, a wiec zamiast
¾
(3.24) mozemy rozpatrywa´ równowazny uk÷ równa´ :
c
ad
n
·
·
@
=0
@w
i
dla
i
= 1;
: : : ;
N
(3.24a)
sprezysta (2.61) bedzie forma kwadratowa, a praca obciaze´ powierzchniowych
¾·
¾
¾
¾
¾· n
forma liniowa wzgledem wspó÷
¾
¾
¾
czynników
w
i
:
8
>
>
>
>
ZZ >
<
D
2
=
>
2
P
>
A
>
>
2 (1
)
4
w
j
>
:
j
X ZZ
w
j
p
j
dxdy:
j
A
Je´ do funkcjona÷ energii (2.57) podstawimy funkcje
w(x; y),
to energia
sli
u
¾
e
!
2
j;yy
P
j
j;xx
!
w
j
r
2
P
j
j
w
j
!
P
j
w
j
j;xy
!
2
3
>
>
5 >
>
>
;
9
>
>
>
>
>
=
dxdy
Po zrózniczkowaniu wzgledem kolejnych wspó÷
¾
czynników
w
i
mozemy napisa´
c
·
·
(3.24a) w postaci uk÷ równa´ liniowych:
adu
n
N
X
j=1
a
ij
w
j
=
b
i
dla
i
= 1;
: : : ; N ;
(3.26)
gdzie wspó÷
czynniki
a
ij
i
b
i
wynosza:
¾
a
ij
=
D
b
i
=
RR
A
p(x; y)
RR
A
r
2
i
i
r
2
j
(1
)(
i;xx
j;yy
+
j;xx
i;yy
2
i;xy
j;xy
)
dxdy;
dxdy:
(3.27)
Tak samo wyprowadzamy wzory dla uk÷ wspó÷ ednych biegunowych. Tutaj
adu
rz ¾
2
przytaczamy je tylko dla przypadku ko÷
owej symetrii:
a
ij
=
D
b
i
=
a
R
b
a
R
b
i;rr
+
1
r
i;r
j;rr
+
1
r
j;r
(1
)
1
(
r
i;rr
j;r
+
j;rr
i;r
)
r dr;
p(r)
i
r dr:
(3.27a)
Opisana metoda jest przyblizona. Jej dok÷
adno´ c zalezy od doboru funkcji
s´
·
·
dopuszczalnych
i
(x;
y).
W zalezno´ od warunków podparcia funkcjami do-
· sci
puszczalnymi moga by´ funkcje trygonometryczne, wielomiany lub funkcje odpowiada-
¾ c
jace postaciom wyboczenia albo drga´ w÷
¾
n asnych. w ustrojach powierzchniowych
najcze´
¾sciej przyjmuje sie funkcje z rozdzielonymi zmiennymi:
¾
XX
k(i) m(i)
i
(x;
y)
=
X
k
(x)Y
m
(y):
(3.28)
Przyk÷
adowo funkcjami
i
moga by´ nastepujace kombinacje
X
k
i
Y
m
:
¾ c
¾
¾
1
=
X
1
Y
1
;
2
=
X
1
Y
2
+
X
2
Y
1
;
3
=
X
2
Y
2
; : : :
(3.28a)
Przyk÷ 3.7.
ad
P÷
yta przegubowo podparta obciazona równomiernie
¾
·
(rys. 3.15)
Zajmiemy sie prostymi, jednowymiarowymi funkcjami dopuszczal-
¾
3
nymi. Zaczynamy od funkcji trygonometrycznej:
x
y
sin
:
a
b
1
= sin
(3.29)
Funkcja ta spe÷ warunki brzegowe, tak kinematyczne, jak tez statyczne.
nia
·
Przy liczeniu wspó÷
czynnika
a
11
pod ca÷a wzoru (3.27)
1
pomijamy cz÷ z
k¾
on
mnoznikiem
(1
·
4
)
zgodnie z p.
(2:8:2)
1
1
+
2
a
2
b
2
a
11
=
D
Z
a
0
a
Z
b
0
b
x
2
y
sin
sin
dxdy
=
a
b
2
4
ab
D
4
1
1
+
2
a
2
b
2
;
b
1
=
p
0
Z
0
Z
sin
0
x
y
4
sin
dxdy
=
2
p
0
ab :
a
b
Na ich podstawie wspó÷
czynnik
w
1
:
b
1
w
1
=
=
a
11
16
6
1+
a
2
2
b
2
p
0
a
4
:
D
(3.30)
Wracajac do funkcji (3.29), otrzymujemy funkcje ugiecia:
¾
¾
¾
x
y
sin
:
a
b
Rozwiazanie (3.30) odpowiada pierwszemu szeregowi z przyk÷ 3.4. Maksy-
¾
adu
malne ugiecie jest okre´
¾
slone wspó÷
czynnikiem
w
1
. Dla p÷ kwadratowej otrzy-
yty
mujemy:
b
1
4
p
0
a
4
p
0
a
4
w
1
=
=
6
= 0:00416
= 1:025
w
sc
;
a
11
D
D
gdzie
w
sc
= 0:00406
p
0
a
, zgodnie z tabl. 3.1.
D
Funkcja dopuszczalna musi by´ co najmniej dwukrotnie rózniczkowalna i powinna
c
·
spe÷ c kinematyczne warunki brzegowe. Taka funkcja moze by´ :
nia´
¾
¾ ·
c
2
2
4
w
=
w
1
e
1
=
w
1
sin
(3.31)
1
= 1
1
;
(3.32)
4
gdzie ,
p÷
yty:
sa bezwymiarowymi wspó÷ ednymi dla uk÷ zaczepionego w ´
¾
rz ¾
adu
srodku
2x
;
a
2y
b
=
=
dla
;
2
[ 1; 1]
:
(3.33)
Dla p÷ kwadratowej maksymalne ugiecie wynosi:
yty
¾
5
p
0
a
4
p
0
a
4
w
1
=
= 0:00355
= 0:874
w
sc
;
1408
D
D
a wiec b÷ rozwiazania wynosi 12.6%, w porównaniu z 2.5% b÷ dla funkcji
¾
ad
¾
¾
edu
¾
dopuszczalnej (3.29).
Inna mozliwo´ a doboru funkcji dopuszczalnych jest przyjecie
X
1
( );
Y
1
( )
¾
sci ¾
¾
·
jako linii ugiecia belki wolnopodpartej:
¾
6
5
1
5
6
5
1
5
1
=
1
2
+
4
1
2
+
4
:
(3.34)
Dla p÷ kwadratowej otrzymujemy:
yty
p
0
a
4
w
1
= 0:00393
= 0:968
w
sc
;
D
a wie b÷ wynosi 3.2%.
ad
¾
Przytoczone rozwiazania wskazuja na znaczne zwiekszenie dok÷
¾
¾
¾
adno´ przy
sci
spe÷
nieniu wszystkich warunków brzegowych (nie tylko kinematycznych) przez
funkcje dopuszczalne. Funkcja (3.32) pomimo do´ c dobrej warto´ ugiecia bedzie
s´
sci
¾
¾
ponadto dawa÷ b÷
a edne warto´ momentów i si÷poprzecznych.
¾
sci
Przyk÷ 3.8.
ad
P÷
yta ko÷
owa na pod÷zu sprezystym typu Winklera
o·
¾·
(rys. 3.16).
Ca÷
kowita energia potencjalna sk÷ sie z energii sprezystej zgi-
ada ¾
¾·
nania
U
m
oraz pracy obciaze´
W
p
i odporu pod÷za
W
w
:
¾· n
o·
=
U
m
+
W
p
+
W
w
;
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin